diketahui vektor vektor u=bi+aj+9k dan v=ai-bj+ak. sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan -

Thursday, June 16, 2022

Nilai dari b adalah -2√2 atau 2√2.

Pembahasan

Diketahui

$\vec{u} = \left[\begin{array}{ccc}b\\a\\9\end{array}\right]$ dan $\vec{v} = \left[\begin{array}{ccc}a\\-b\\a\end{array}\right]$

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah $\vec{p} = \left[\begin{array}{ccc}4\\-2\\4\end{array}\right]$

Ditanya

Nilai b

Penyelesaian

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

$\vec{u} . \vec{v} = \left[\begin{array}{ccc}b\\a\\9\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a\\-b\\a\end{array}\right]$

$\vec{u} . \vec{v} = (b)(a) + (a)(-b) + (9)(a) = 9a$

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

$\boxed{~cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}~}$

$\frac{6}{11} = \frac{[b, a, 9].[a, -b, a]}{\sqrt{b^2 + a^2 + 9^2}.\sqrt{a^2 + (-b)^2 + a^2}}$

$\frac{6}{11} = \frac{9a}{\sqrt{a^2 + b^2 + 81}.\sqrt{2a^2 + b^2}}$

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

$\frac{2}{11} = \frac{3a}{\sqrt{a^2 + b^2 + 81}.\sqrt{2a^2 + b^2}}$

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

$\big( \frac{(\vec{u}.\vec{v})}{|\vec{v}|^2} \big) \vec{v} = \vec{p}$

$\bigg(\frac{9a}{(\sqrt{a^2 + (-b)^2 + a^2})^2} \bigg) \left[\begin{array}{ccc}a\\-b\\a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4\\-2\\4\end{array}\right]$

$\bigg(\frac{9a}{2a^2 + b^2} \bigg) \left[\begin{array}{ccc}a\\-b\\a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4\\-2\\4\end{array}\right]$

Kita misalkan $\frac{9a}{2a^2 + b^2}$ sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

$k \left[\begin{array}{ccc}a\\-b\\a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4\\-2\\4\end{array}\right]$

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan $\boxed{~k \vec{v} = \vec{p}~}$

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

$\frac{2}{11} = \frac{3(2b)}{[\sqrt{(2b)^2+ b^2+ 81}][\sqrt{2(2b)^2 + b^2}]}$

$\frac{1}{11} = \frac{3b}{[\sqrt{5b^2 + 81}][\sqrt{9b^2}]}$

$\frac{1}{11} = \frac{3b}{[\sqrt{5b^2 + 81}][3b]}$

$\frac{1}{11} = \frac{1}{\sqrt{5b^2 + 81}}$

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

$\frac{1}{121} = \frac{1}{5b^2 + 81}$

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Untuk b = -√8 diperoleh b = -2√2

Pelajari lebih lanjut

Menentukan salah satu koefisien vektor dengan kedua vektor saling tegak lurus https://sebuahcatatan.live/as/catatanbrain/tugas/2175049
Menentukan besar salah satu sudut segitiga yang diketahui koordinat ketiga titik sudut https://sebuahcatatan.live/as/catatanbrain/tugas/2175049

-------------------------

Detil jawaban

Kelas : X

Mapel : Matematika

Bab : Vektor

Kode : 10.2.7.1

Kata Kunci : diketahui, vektor, u = bi + aj + 9k, dan, v = ai –bj + ak, sudut antara, u dan v, theta, θ, dengan, cos, 6/11, vektor proyeksi, u pada v, adalah p = 4i -2j + 4k, nilai dari b, hubungan, faktor, kuadratkan, brainly

Source https://sebuahcatatan.live/as/catatanbrain/tugas/2175049

powervalid

diketahui vektor vektor u=bi+aj+9k dan v=ai-bj+ak. sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan -

Pembahasan

Pelajari lebih lanjut

Detil jawaban

powervalid Thursday, June 16, 2022 edit